Улитин родился 17 декабря 1939 года в Ленинграде в семье, связанной с искусством. Его отец руководил Театром на Литейном, а мать была балериной Мариинского театра. В годы блокады он остался в осажденном городе под опекой тети и лишь в 1943 году смог воссоединиться с матерью, говорится в сообщении.

В 1961 году окончил Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии. Вскоре его заметил режиссер Николай Акимов и пригласил в Театр Комедии, где артист работал на протяжении почти 60 лет – с 1961 по 1977 год и затем с 1984 года. В период с 1977 по 1982 год он также играл в Театре имени Ленсовета.

В 1993 году Борису Улитину присвоили звание заслуженного артиста России. В 2004-м он был награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени, а в 2009 году получил орден Дружбы.

За свою карьеру Борису Улитин стал голосом множества персонажей в кино и анимации. Он принимал участие в дубляже таких картин, как "Звездные войны", "Чужой против хищника", "Пираты Карибского моря", "История игрушек: Большой побег", "Корпорация монстров", "Красавица и чудовище" и "Принц Персии: Пески времени".

Среди работ артиста – озвучивание Раймона Дюфаэля в фильме "Амели", рассказчика в картине "500 дней лета", а также Лорда Джона Картерета в "Пиратах Карибского моря: На странных берегах" и префекта в "Коде да Винчи".